一个考分总拿C的学生是如何成为著名数学家的？
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美国著名数学家约克（James A. Yorke）教授和他的学生李天岩发现了著名的“李-约克定理”，首次定义了一个重要的科学名词——混沌。但成就斐然的约克教授从高中到大学，考试几乎从未拿过优，大学成绩基本是“C或C以下”，他是如何成为数学家的？
2015年7月4日照例是美国的独立节全国法定假日，但对于我和其他一些人来说都过得特别令人难忘。那一天给我们留下了极其美好的记忆，是因为它是我的博士论文指导老师李天岩教授三十多年来的众多弟子，以及他自己的博士论文指导老师约克教授 (James A. Yorke) 大家欢聚一堂，庆祝他70寿辰的日子。我们师门的祖师爷约克教授的出场使得上、下午的生日庆贺学术研讨会以及晚间的生日祝寿谈笑聚餐会更具有意义，更动人心扉。约克教授赠与他的独特弟子的独特礼物体现了他们师徒两人四十年前对科学界的重大贡献：一瓶命名为“混沌”的红葡萄酒！
在大家前往密歇根州立大学的旅途当中（最远的来自台湾高雄），我比李教授的其他学生更为幸运，因为在我和约克教授各自从密西西比州和马里兰州飞往密歇根州首府兰辛，抵达旅行终点前的第二个航班上，我就遇见了他。而且航空公司碰巧把我们的飞机公务舱座位放在一前一后的位置，使得我们的交谈从底特律飞往兰辛前就正式启动了！我们在机舱内，从兰辛机场前往旅馆Kellogg中心的路上，夜晚在他的客房，言犹未尽而相约翌日凌晨的继续谈话（我几个早起的师兄弟、师姐妹也顺便加入其中），大都是围绕着“文化教育”这个主旋律。这是因为一开始我就告诉他，他的弟子游志平博士是与美国的普及性期刊Mathematical Intelligencer（《数学信使》）宗旨相似的中国杂志《数学文化》之“特约撰稿人”及专栏作者（现为杂志编委），以笔名“万精油”独步天下，这引起了他的极大兴趣；聊到中美教育时，我也提到我刚写了一本中文书（《亲历美国教育：三十年的体验与思考》），将由商务印书馆出版。约克教授就像被《时代周刊》采访的风云人物一样，一旦受我引导，几乎无所不谈，于是我又获得了一些关于他的“独家新闻”及其他资料。
我很早就从导师李天岩教授嘴里听到不少约克教授的有趣轶事和真知灼见，后来在美国科学记者格莱克 (James Gleick) 的百万册畅销书Chaos: Making a New Science（中文译本为《混沌：开创新科学》）中，又读到他的许多混沌故事，个别的也放进了我自己多年前出版的科普书《智者的困惑：混沌分形漫谈》。
我在我的科普书中写道，约克教授曾经告诉他的学生李天岩他在哥伦比亚学院（哥伦比亚大学的本科学院；大多数中国人可能不知道这个事实而“有眼不识泰山”）读书时“没有B”，来自台湾的李天岩自然用中国文化推理成“全是A”。但是他的老师告诉他其实是“C或低于C”。2005年，当我们在台湾新竹清华大学庆祝李天岩教授60华诞时，约克教授曾对他这位得意弟子承认，对体育课之类的他是拿到过一到两个B的。而这一次，他告诉我他高中时的数学最高成绩也只是86分，四年中没有一门课拿到A，但比他的大学本科前三年的最高数学成绩还高一些分呢。但是，他高中阶段参加了州里在罗格斯大学举办的一场数学竞赛，那需要“真正的数学功夫”，他却拿了个全州第三！大概是因为这类体现本质的好成绩，他被慧眼识珠的哥伦比亚学院录取。但在大学的前三年，他依然没有拿到任何学科的A，除了一门体育课。不过这个零记录在第四年终于被打破了，他拿到了至少一个A。虽然大学成绩单不那么漂亮，他却告诉我他那阶段学到了许多，甚至还参加了著名的全美大学生普特南数学竞赛并做得很好，这帮助了他被像康奈尔大学这样的私立名校录取。因为他和他未来的太太想尝尝公立大学的滋味并对马里兰大学的应用数学研究情有独钟，于是他们进了后者的研究生院继续深造，并分别获得数学与物理的博士学位。
从后来约克教授电邮我的他高中四年的成绩单，我看到这样的数学课学年平均成绩：高一的《代数-I》是79，高二的《代数-II》是75，高三的《几何》是85，高四的《数学》是86。据说中国的中、小学生，数学成绩95分的也要请家教辅导，因为这个分数在班上很落后。我进一步注意到，约克高中期间各学年班级总排名分别是50/74，46/71，35/70，20/70。虽然他的数学考试成绩都不在“优秀”的范围，但他总成绩的年度相对排名却是个严格的递增函数。
惊奇吗？这听上去不大可信。根据完全基于课堂排名和考试成绩的中国标准，约克一定不会被看作是个好学生。一个无优等成绩的中等学生怎会成了一名世界著名的数学家？这位数学家和他的学生首次定义了现代数学名词——混沌，并把马里兰大学打造成世界上最好的混沌研究中心。中国的数学教育专家可以研究研究这个课题。
约克教授
对上述问卷也许有许多的求解暗示，包括像父母遗传的高智慧或大脑结构等内在的素质。但是约克教授仅仅提到他学习和探索数学的一种哲学思辨。他对我说：理解重要数学定理证明的片片断断远比仅仅理解定理本身重要(understanding the pieces in the proof of an important theorem is more important than understanding the theorem itself)。
这真的是一个绝妙无比的思想！它如此易于理解，但对许多数学的学习者实践起来却又如此困难重重。一个极端的负面例子当属中国某个名牌大学的一位学者。我记得他告诉过我，他一般不读定理的证明；他仅仅满足于阅读定理的结论。在我读博士的岁月里，李天岩教授讲过他在马里兰大学念书时代的一个趣闻。一位博士生央求她的资格考的口试教授让她证明一般拓扑学中的吉洪诺夫 (Tychonoff) 定理：任意一族紧空间的笛卡尔乘积在乘积拓扑下也是紧空间，而不是教授要求她证明的定理的特殊情形：两个紧空间的乘积空间也是紧的。理由是显然的：她已将前者的证明背得滚瓜烂熟，却未能理解证明语言背后的基本思想。
正如约克教授所强调的，理解定理证明中的每一片能让你掌握证明过程所依据的奇思妙想，然后可将此种想法或由此进化而来的新思路用在进攻其他数学问题上。这样，数学的不同学科就不再被看成是彼此老死不相往来的孤立分子，而是一座整体大厦的不同侧面。根据我的领悟，仅仅理解定理的好处只是知道作为一个单独数学命题的结论，而逐片逐片理解整个定理证明的收益是使得你有潜力开创出更多的数学命题，举一而反三。我猜这就是为何“成绩平均或平均以下”的约克能在州级竞赛中打败其他选手的奥秘所在！
在给我的电邮中，约克教授更详细地阐述了他关于理解数学证明的哲学要素。他强调说，学生（甚至教授）要试图理解证明中的关键想法(key ideas)，并最好找到两个关键想法。这些关键想法不一定以“引理”的面貌出现，因为书中也许指出了太多似是而非的关键想法。其实关键想法往往是令学生大吃一惊的那个，因而不同人会挑出一个证明中的不同关键想法。它们是提高我们理解力的关键要素。一个关键想法也许会有复杂的证明，故学生们应当从这个想法中发现两个关键的思想。接着，约克教授不厌其烦地用了一个介值定理的证明来说明他的如上论点。这个证明取自一本微积分的教科书，为了证明这个重要定理，书中列出了太多的引理来做准备工作。
该定理是说，如果f是一个定义在区间[a, b]上的连续实函数，则对位于函数值f(a)和f(b)之间的任何数y，存在(a, b)中一点c，使得f(c) = y。
证明的第一个想法是，通过区间的中点(a+b)/2将区间[a, b]一分为二，得到两个子区间，长度都是原区间的一半。若函数f在上述中点处取值y，则定理得证，否则数y一定位于函数f在两子区间之一两个端点上的值之间。由此性质确定的那个子区间将取代原先的区间。
第二个想法是，只要函数f不在所得区间中点处取值y（否则定理得证），重复运用上面那个区间平分的想法，保持y位于区间两端点的函数值之间这一性质，就得到越来越短、前面套住后面的一个无穷的区间序列，这些区间最终趋向于一个点c，该点必定满足f(c) = y。
不管书中列出多少引理，上面两个就是定理证明所需要的关键思想。其中第二个思想也导致了计算数学中求解连续函数零点的一个简单方法——二分法（bisection method）。约克教授颇为自豪地告诉我，他甚至从高中起就学会了理解关键性的想法，以至于一旦碰到以前没见过的问题，就可能有较大机会解决它。他的一位过去的博士生说过，Jim（约克教授的昵称）比他的学生知道的定理少，但那无妨，因为他能造出所需要的定理。他对学生的一个忠告就是：读书之初你或许应该确定你是否只想成为学生（那就背诵定理），还是想成为研究者（则必须学会理解想法）。
因为我和约克教授聊到上述的吉洪诺夫定理，这给了他一个好机会就用这个拓扑学的大定理深化他关于“理解关键想法”的读书方法。这个定理的证明要比介值定理难多了，连约克教授自己也要花上几天才梳理清楚（“It took me a couple of days to work out AND I ALREADY KNEW THE PROOF”）；他几年前曾将它写出。我在本文初稿中未论及它，就是担心部分读者害怕读之。但是知难而上是学习数学的好态度，正如美国已故大物理学家费曼给他妹妹的一个读书诀窍所言，读不懂时从头再来，直到读懂为止。下面的叙述结合了约克教授的论证思想和我的一些理解。
证明用到的是关于紧性的等价说法：一个拓扑空间是紧的当且仅当它的任何具备有限交性质的闭子集族都有非空交集。“有限交性质”意指“族中任何有限子族交集非空”。这个性质就是证明吉洪诺夫定理的两个关键想法之一。
记S为一族紧空间Sa的笛卡尔乘积空间，带有乘积拓扑，其中下标a取自某一个指标集。要证S是紧的，根据如上所述，只需证明它的任一闭子集族F，只要满足有限交性质，就有非空交结论，及存在一点p属于F中的每一个集合。
现在需要第二个关键想法了：在F中加进一些集合并保持有限交性质，使得扩张后的集族有一个共同元素，因而它的子集族F共享这个元素，以至于吉洪诺夫定理得证。实现这个想法的工具是Zorn的“引理”。该引理说：任给一偏序集X，如果它的每个全序子集都有上界，则X含有一最大元素。将Zorn引理用于这里的情形，以集合的包含关系为“序结构”，则有：F包含在S的满足有限交性质的一个最大子集族G中。注意G的元素不一定都是S的闭子集。
任给指标a，将G中的每个集合通过由S到Sa的“标准坐标投影”映射到Sa上。由于G满足有限交性质，得到的像集族也具备有限交性质。虽然这些像集在Sa中不一定为闭，但它们的闭包是Sa的闭子集，且这族集合同样带着有限交性质。既然Sa是紧的，该闭包族有一共同元素，记为pa。则p = (pa)是属于S的一个点。我们想证明p属于G中的所有集合。
为此目的，只需证明p的每个邻域都在G中。因为一旦如此，则p的所有邻域都和G的每个集合相交，故p属于G中每个集合的闭包，从而也属于F中的每个集合。根据乘积拓扑的定义，只需考虑pa在Sa中的邻域Na之笛卡尔乘积N这样的邻域，其中除有限个指标a外Na等于Sa。由于N是有限个Na在从S到Sa的标准坐标投影下的逆像之交集，我们只需验证每一个Na的投影逆像都属于G。这可如下证之。
因为pa属于G中各集在Sa上的投影像集的闭包，Na与各像集有非空交，故Na的投影逆像与G中各集有非空交。由G的最大性，此逆像属于G。这时可写Q.E.D.了。
作为约克怎样学数学哲学观点的一种实践，在他与Kathleen Alligood 和 Tim Sauer合著的热卖教科书Chaos: An Introduction to Dynamical Systems（《混沌：动力系统导论》）中，每一章结束之处，不仅有帮助理解概念的通常习题，而且有一个挑战性的大题目，完成它需要对定理证明的方方面面有透彻的理解！
怎样才能理解定理的每一片证明？约克教授对那些只信任教师的学生开了一副药方：读书比听课更为重要 (reading books is more important than attending lectures)。当然，如果一名学生如此走运，有约克教授或李天岩教授这样的好老师授课，自然能取到真经，掌握了证明的基本思想或几何洞见。然而，如同约克教授所说，课堂讲课的声音课后就消失殆尽，再不回头，而书本的内容则永远摆在那里。经过积极主动的自学，你能挖掘得越来越深，不断思考，开发出证明的真理。他进而建议读证明的更好方式：开始时试图自己证明，而不是读作者给出的现成句子，然后与教科书比较，激发获取新思路的灵感。事实上，约克教授告诉我，他大部分的数学知识来自于学生时代独立阅读与思考的自学。
当我对他提到在中国，考进北大或清华读本科总是父母对子女的梦想。约克教授马上回答道：“就本科生教育而言，哈佛大学是美国最差的顶尖大学之一。”这句话让患有“名校情结综合症”的中国父母听到，不啻是一记闷棍！事实上确实是。在最好的研究型大学里，许多教授不管本科课堂的学生是否跟得上他们飞快的讲课速度，课后也很少与他们交流。学生被当作像教授一样的天才来教，而天才教授也许只愿多花时间与他们的博士研究生探讨学问。假如一名学生还没有学会怎样通过自学来读书的话，他或许在这个最重要的求学过程中遭受到灾难性的创伤，其学习真正数学的动因也可能就会逃之夭夭，一去而不复返。我告诉约克教授，去年我在上海读到一本英文著作Excellence without a Soul: How a Great University Forgot Education的中文翻译《失去的卓越》，作者是哈佛学院（哈佛大学的本科学院）前任院长、计算机科学教授刘易斯 (Harry R. Lewis) 。这两位知名学者的观察与见解惊人地一致，真是英雄所见略同。
约克教授不仅对常春藤名校的本科教育表示同情，也试图改善他所任教大学数学系的教学环境。他告诉我说，退休前在他担任六年系主任的期间内，对本科生教育大刀阔斧地改革了一番，效果显著。他甚至与他的同事Patrick Fitzpatrick教授合作修改后者所著的高年级课本《高等微积分》，再版后的教材更对学生的胃口。我的女儿如果迟上几年大学，就有机会用到新版的同一本教科书了。
独立节早餐前，在我们下榻旅馆的大厅交谈结束后，我和早我一年拿到学位的师姐张红博士陪同约克教授前往数学系所在的大楼Wells Hall，我们一整天的庆祝李天岩教授70寿辰的学术活动就在三楼会议室举行。作为美国最早的“赠地大学”之一及第一家农学院，密歇根州立大学是全美最美校园之一，故沿途走去相当于观赏国家公园。很快地，路旁的松鼠引起了约克教授的极大兴趣。只见他拿出照相机，开始为它们留下倩影。最好的几张和其他白天、晚间他所拍的照片一样，最后都让我们所有参会者分享。张红和我都注意到约克教授对选取最佳拍照角度十分耐心，百分专注。最终，一张漂亮松鼠面部正对拍照者的摄影佳作出现在我们的面前。当我们尽情欣赏这张美照时，约克教授解释道，每当他照相时，他都极力想拍出他到此为止的最好相片。这不正是他之前对我讲到关于教育的同样哲学思想？当天晚上在生日晚会的致辞中，张红与大家分享了这段有趣的插曲，描绘了我们的祖师爷约克教授的教育思想及治学态度。
2005年，约克教授在参加完弟子李天岩教授60周岁生日研讨会后，接受了台湾数学界领袖之一刘太平教授对他的采访，后来我在北京读到了《数学传播》杂志上刊登的采访记。约克教授在谈话中鼓励年轻人的一句预言“计算可能导致伟大科学发现 (computing may lead to a great scientific discovery) ”已被引用到我的科普书中。十年后的这次相遇，他与我的短暂交流，不仅传达了他关于数学教育的深刻见解，而且也是对我的一次教育。我感到有一种欲望，将他的思想与读者们分享。毕竟，我们年轻的大学生、研究生会从他的言语中领略到他的话到底意味着什么？
1 本文英文初稿写于2015年7月13日，随即寄给约克教授请他过目并补正。不久他回复我长篇电邮，补充了细节并给了数学例子佐证他的观点。他并附上了他的高中成绩单。由于本文许多内容源自于他，我觉得应当把他列为共同作者，就像柯朗(Richard Courant)将希尔伯特(David Hilbert)列为名著《数学物理方法》的共同作者一样。因为他无论英文姓按字母排序、还是中文姓按笔画排序都在我后，故他当之无愧地成为第二作者，他也不持异议，愉快接受。
2 二十多年前，我在任教大学的图书馆偶然看到一大卷装潢精美的Who’s Who（《名人录》），上面录有约克的大名，名下的传记写到他某年某月某日出生于北京。我从未听说过约克教授在我的祖国降生，故问过李天岩教授。李教授也闻所未闻他的美国老板出生于抗日战争进行中的当时称为北平的中国北方名城，只知道他的导师是个土生土长的美国白人，1941年八月出生在美国的新泽西州无名小城Plainfield。这一次，我终于有机会解开困惑了我二十余年的谜团了。约克教授笑眯眯地以林语堂式的幽默解开了它。他的回答开始令我惊讶，继而让我哈哈大笑：“我为这些《剑桥名人录》诸如此类的出版物们杜撰了我的经历，比如说我出生于像北京这样的城市，并生了多如十个的小孩。实际上我只有三个孩子。”
这就是约克式的幽默！这是他想出的对这些“他让你出名、你让他富裕”的世界性名人录制造商的绝妙讽刺、挖苦、打击！我不知道《名人录》在今日中国是否还在大行其道，但是在我四十多年前大学求学的年代，名字被收进《剑桥名人录》在中国几乎是像被选为科学院院士（当时叫学部委员）一样的大新闻。我们经常看到新闻报道，某某人就是因为成了纸上印刷的“剑桥级名人”而成了学术一尊、大学名流。一些学者也把这些重要条款放进他们引人注目的履历中或印在头衔繁多的名片上。
注：本文初稿曾发表于2015年出版的《数学文化》第6卷第4期，原题为《约克教授谈教育》，《返朴》获作者授权重发，有一定删节。
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